Rangkumam persamaan kuadrat

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0 atau x – 1 = 0

x = 3 atau x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.

Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0

x2 – 6 x + 9 – 4 = 0

x2 – 6 x + 9 = 4

(x – 3)2 = 4

x – 3 = 2 atau x – 3 = –2

x = 5 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.

Jawab: x2 + 7x – 30 = 0

a = 1 , b = 7 , c = – 30

x = 3 atau x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan (D).

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

x2 + 5 x + 2 = 0
Jawab :

x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2

D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.

3. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0

x2 +x + = 0

Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :

Jadi, , .

Contoh:

Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

x1 + x2 d.
x1.x2 e. x13 + x23
x12 + x22
Jawab: x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4

a. x1 + x2 = 3

b. x1.x2 = 4

c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2

= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1

e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23

= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)

= 33 – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

Bentuk Persamaan Kuadrat
ax2 + bx + c = 0
Dengan a,b , dan c merupakan himpunan bilangan real dan a ≠ 0.
Keterangan :
a = koefisien dari x 2
b = koefisien dari x
c = suku tetapan
Contoh :
Nyatakan 2x 2 = 2x - 5 ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat dan nyatakan nilai masing-masing koefisiennya.
Jawab :
⇒ 2x 2 = 2x - 5
⇒ 2x 2 - 2x + 5 = 0
Jadi, a = 2, b = -2, c = 5.